Question

19．已知：如圖，平面直角坐標系中有一個等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB=CD，點A在y軸正半軸上，點B、C在x軸上（點B在點C的左側），點D在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高為2，雙曲線y=$\frac{m}{x}$經過點D，直線y=kx+b經過A、B兩點．
（1）求點A、B、C、D的坐標；
（2）求雙曲線y=$\frac{m}{x}$和直線y=kx+b的解析式；
（3）點M在雙曲線上，點N在y軸上，如果四邊形ABMN是平行四邊形，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先過點D作DH⊥x軸于點H，由AD∥BC，AB=CD，易得四邊形AOHD是矩形，證得Rt△ABO≌Rt△DCH，又由AD=3，BC=11，梯形的高為2，即可求得答案；
（2）由雙曲線y=$\frac{m}{x}$過點D，直線y=kx+b過點A，B，直接利用待定系數(shù)法求解即可求得答案；
（3）由四邊形ABMN是平行四邊形，可得點M的橫坐標為-4，繼而求得點M的坐標，又由AN=BM，求得答案．

解答 解：（1）如圖1，過點D作DH⊥x軸于點H．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∵AO⊥x軸，
∴四邊形AOHD是矩形，
∴AO=DH，AD=OH，∠AOB=∠DHC=90°，
在Rt△ABO和Rt△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DH}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABO≌Rt△DCH（HL）．
∴BO=CH，
∵梯形的高為2，
∴AO=DH=2．
∵AD=3，BC=11，
∴BO=4，OC=7．
∴A（0，2），B（-4，0），C（7，0），D（3，2）；

（2）∵雙曲線y=$\frac{m}{x}$經過點D（3，2），
∴m=xy=6．
∴雙曲線的解析式為：y=$\frac{6}{x}$，
∵直線y=kx+b經過A（0，2）、B（-4，0）兩點，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+2；

（3）如圖2，∵四邊形ABMN是平行四邊形．
∴BM∥AN且BM=AN．
∵點N在y軸上，
∴過點B作x軸的垂線與雙曲線y=$\frac{m}{x}$的交點即為點M．
∴點M的坐標為M（-4，-$\frac{3}{2}$），
∴BM=$\frac{3}{2}$．
∴AN=BM=$\frac{3}{2}$，
∴ON=OA-AN=$\frac{1}{2}$，
∴點N的坐標為N（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質、等腰梯形的性質、矩形的判定與性質以及平行四邊形的性質等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．