Question

19．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=α，在BA的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，如圖1，依題意補(bǔ)全圖形，直接寫出EC，BC，ED的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，如圖2，判斷EC，BC，ED之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）當(dāng)∠BAC=α?xí)r（0°＜α＜180°），請(qǐng)寫出EC，BC，ED之間的數(shù)量關(guān)系并寫出解題思路．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)建已知條件畫出圖象即可；
（2）結(jié)論：BC+ED=$\sqrt{2}$BC．只要證明四邊形DECF為平行四邊形，△BDF為等腰直角三角形．在Rt△BDF中，BF²=BD²+DF²，推出（BC+ED）²=2EC²．推出BC+ED=$\sqrt{2}$EC即可；
（3）結(jié)論：BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．由（2）可知四邊形ACFD為平行四邊形，△BDF為等腰三角形，過D點(diǎn)作DN⊥BC于N點(diǎn)可得BN=$\frac{1}{2}$BF，∠BDN=$\frac{1}{2}$α．在Rt△BDN中sin∠BDN=$\frac{BN}{BD}$=sin$\frac{α}{2}$，可得BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$；

解答 解：（1）圖象如圖所示，

數(shù)量關(guān)系：EC=BC+ED．

（2）結(jié)論：BC+ED=$\sqrt{2}$BC．
理由：過D作DF∥AC交BC延長(zhǎng)線于F點(diǎn)．

∵DF∥AC，ED∥BC，
∴四邊形DECF為平行四邊形．
∴ED=CF，EC=DF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵ED∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，∠EDB=∠DBC．
∴∠CED=∠BDE．
∴AE=AD．
∴EC=BD．
∴BD=DF．
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC=90°．
∴△BDF為等腰直角三角形．
在Rt△BDF中
∵BF²=BD²+DF²，
∴（BC+ED）²=2EC²．
∴BC+ED=$\sqrt{2}$EC．

（3）結(jié)論：BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．
理由：如圖，

由（2）可知四邊形ACFD為平行四邊形，△BDF為等腰三角形，
過D點(diǎn)作DN⊥BC于N點(diǎn)可得BN=$\frac{1}{2}$BF，∠BDN=$\frac{1}{2}$α．
在Rt△BDN中sin∠BDN=$\frac{BN}{BD}$=sin$\frac{α}{2}$．
可得BC+ED=2EC•sin$\frac{α}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考�？碱}型．