Question

18．如圖，正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的邊長為2，正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的外接圓與正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的各邊相切，正六邊形A₃B₃C₃D₃E₃F₃的外接圓與正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀E₁₀F₁₀的邊長為（　　）

• A． $\frac{243}{{2}^{9}}$
• B． $\frac{81\sqrt{3}}{{2}^{9}}$
• C． $\frac{81}{{2}^{9}}$
• D． $\frac{81\sqrt{3}}{{2}^{8}}$

Answer 1

分析 連接OE₁，OD₁，OD₂，如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得∠E₁OD₁=60°，則△E₁OD₁為等邊三角形，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OD₂⊥E₁D₁，于是可得OD₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$E₁D₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2，利用正六邊形的邊長等于它的半徑得到正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的邊長=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2，同理可得正六邊形A₃B₃C₃D₃E₃F₃的邊長=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²×2，依此規(guī)律可得正六邊形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀E₁₀F₁₀的邊長=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁹×2，然后化簡即可．

解答 解：連接OE₁，OD₁，OD₂，如圖，
∵六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁為正六邊形，
∴∠E₁OD₁=60°，
∴△E₁OD₁為等邊三角形，
∵正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的外接圓與正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的各邊相切，
∴OD₂⊥E₁D₁，
∴OD₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$E₁D₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2，
∴正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的邊長=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2，
同理可得正六邊形A₃B₃C₃D₃E₃F₃的邊長=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²×2，
則正六邊形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀E₁₀F₁₀的邊長=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）⁹×2=$\frac{81\sqrt{3}}{{2}^{8}}$．
故選D．

點評 本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．記住正六邊形的邊長等于它的半徑．