Question

6．如圖，已知B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，△ABC與△DCE都是等邊三角形，其中線段BD交AC于點(diǎn)G，線段AE交CD于點(diǎn)F，求證：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AF}{FE}$．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC與三角形CDE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；
（2）由（1）得出的三角形全等得到對(duì)應(yīng)角相等，再由一對(duì)角相等，且夾邊相等，利用ASA得到三角形GCD與三角形FCE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到CG=CF，進(jìn)而確定出三角形CFG為等邊三角形，確定出一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而得到GF與CE平行，利用平行線等分線段成比例即可得證．

解答 證明：（1）∵△ABC與△CDE都為等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠AEC，
在△GCD和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCD=∠FCE=60°}\\{CD=CE}\\{∠BDC=∠AEC}\end{array}\right.$，
∴△GCD≌△FCE（ASA），
∴CG=CF，
∴△CFG為等邊三角形，
∴∠CGF=∠ACB=60°，
∴GF∥CE，
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AF}{FE}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．