學(xué)情點(diǎn)評(píng)四川教育出版社八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版
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15. (12分)圖1是一架移動(dòng)式小吊機(jī)工作示意圖，吊機(jī)工作時(shí)利用起重臂的長(zhǎng)度和傾斜角的變化改變起升高度和工作半徑. 在某次起重作業(yè)中，數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)測(cè)量和咨詢工人師傅了解到如下信息：如圖2，起重臂AB=1.3 m，點(diǎn)B到地面CD的距離BC=2 m，AD⊥CD，點(diǎn)B到AD的距離BE=1.2 m. 點(diǎn)A到地面CD的距離為多少米？
答案：2.5米
解析：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，由題意知BE=1.2m，AB=1.3m，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得AE=$\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{1.3^2 - 1.2^2}=\sqrt{1.69 - 1.44}=\sqrt{0.25}=0.5$m。因?yàn)锳D⊥CD，BC⊥CD，BE⊥AD，所以四邊形BCDE為矩形，故ED=BC=2m，所以AD=AE + ED=0.5 + 2=2.5m，即點(diǎn)A到地面CD的距離為2.5米。
16. (12分)在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.
(1)①若∠C為直角，則由勾股定理得a2 + b2 = c2. 若∠C為銳角，求證：a2 + b2 ＞ c2.
②若∠C為鈍角，試判斷a2 + b2與c2的關(guān)系，并證明.
(2)若a=3，b=4，且△ABC是鈍角三角形，求c的取值范圍.
答案：(1)①證明見(jiàn)解析；②a2 + b2 ＜ c2，證明見(jiàn)解析；(2)1 ＜ c ＜ 5且c ≠ 5（或1 ＜ c ＜ √7或5 ＜ c ＜ 7）
解析：(1)①過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)CD=m，AD=n，在Rt△ADC中，b2 = m2 + n2，在Rt△ADB中，c2 = (a - m)2 + n2 = a2 - 2am + m2 + n2，所以a2 + b2 - c2 = a2 + m2 + n2 - (a2 - 2am + m2 + n2)=2am ＞ 0，故a2 + b2 ＞ c2。
②過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，設(shè)CD=m，AD=n，在Rt△ADC中，b2 = m2 + n2，在Rt△ADB中，c2 = (a + m)2 + n2 = a2 + 2am + m2 + n2，所以a2 + b2 - c2 = a2 + m2 + n2 - (a2 + 2am + m2 + n2)= -2am ＜ 0，故a2 + b2 ＜ c2。
(2)當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，c ＞ √(a2 + b2)=5，且c ＜ a + b=7；當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，b2 ＞ a2 + c2，即16 ＞ 9 + c2，c2 ＜ 7，0 ＜ c ＜ √7；當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，a2 ＞ b2 + c2，即9 ＞ 16 + c2，c2 ＜ -7（無(wú)解），又因?yàn)槿切稳呹P(guān)系1 ＜ c ＜ 7，綜上，1 ＜ c ＜ √7或5 ＜ c ＜ 7。
