Question

 （本題16分，其中第（1）小題8分，第（2）小題8分）

已知橢圓的方程為，長軸是短軸的2倍，且橢圓過點(diǎn)；斜率為的直線過點(diǎn)，為直線的一個(gè)法向量，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)滿足條件．

（1）寫出橢圓方程，并求點(diǎn)到直線的距離；

（2）若橢圓上恰好存在3個(gè)這樣的點(diǎn)，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由題意得  解得  …………3分

∴橢圓方程為：                        …………4分

直線的方程為，其一個(gè)法向量，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由及   得    …………6分

∴到直線的距離為   …………8分

（2）由（1）知，點(diǎn)B是橢圓上到直線的距離為1的點(diǎn)，即與直線的距離為1的二條平行線與橢圓恰好有三個(gè)交點(diǎn)。                 

設(shè)與直線平行的直線方程為

由得，即

………①…………10分

當(dāng)時(shí)，………②

又由兩平行線間的距離為1，可得………③

把②代入③得，即，

即，或                                        …………12分

當(dāng)時(shí)，代入②得，代回③得或    

當(dāng)，時(shí)，由①知

此時(shí)兩平行線和與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；…………14分

當(dāng)時(shí)，代入②得，代回③得或

當(dāng)，時(shí)，由①知

此時(shí)兩平行線和，與橢圓有三個(gè)交點(diǎn)，

∴                            …………16分