Question

如圖，已知正方形的邊長為，點分別在邊上，，現將△沿線段折起到△位置，使得．

（1）求五棱錐的體積；

（2）求平面與平面的夾角．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由于△沿線段折起到△的過程中，平面平面始終成立.所以平面.又因為，正方形的邊長為，點分別在邊上，.即可求得結論.

（2）依題已建立空間直角坐標系.求出兩個平面的法向量，由法向量的夾角得到平面與平面的夾角.

試題解析：（1）連接，設，由是正方形，，

得是的中點，且，從而有，

所以平面，從而平面平面， 2分

過點作垂直且與相交于點，

則平面 4分

因為正方形的邊長為，，

得到：，

所以，

所以

所以五棱錐的體積； 6分

（2）由（1）知道平面，且，即點是的交點，

如圖以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則， 7分

設平面的法向量為，則

，

，

令，則， 9分

設平面的法向量，則，

，

令，則，即， 11分

所以，即平面與平面夾角. 12分

考點：1.線面垂直的判定與性質.2.二面角.3.空間想象力.