Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.

（1）平面與平面是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由．

（2）若，為線段的三等分點，求多面體的體積．

Answer 1

【答案】（1）互相垂直，證明見解析（2）或.

【解析】

(1)證明平面中的即可.

(2)利用多面體的體積為,分為線段的兩個不同的三等分點進行求解即可.

解法一：（1）平面與平面互相垂直,

理由如下：

因為底面,平面,

所以．

因為為正方形,所以

又,且平面,

所以平面．

因為平面,所以

因為,為線段的中點,所以,

又,且平面,

所以平面,

因為平面,所以平面平面．

（2）因為底面,為線段的中點,

所以點到底面的距離為,

則,

又為線段的三等分點,

當時,,

所以多面體的體積為；

當時,,

所以多面體的體積為．

綜上,多面體的體積為或.

解法二：（1）平面與平面互相垂直,

理由如下：

因為底面,平面,所以平面底面,

又平面底面,,平面,

所以平面．

因為平面,所以

因為,為線段的中點,所以,

又,且平面,

所以平面,

因為平面,

所以平面平面

（2）同解法一．