Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面 是的中點(diǎn)．

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）平面與平面所成二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：

由題意可證得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系求解．（1）通過(guò)證明，可得．（2）由題意可得平面的一個(gè)法向量為，又可求得平面的法向量為，故可求得，結(jié)合圖形可得平面與平面所成的二面角為銳角，由此可得所求余弦值．

試題解析：

（1）∵平面平面平面，

∴，

又，

∴兩兩垂直，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

∴，

∵，

∴；

（2）由已知，得是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的法向量為，

∵，

由，得，

令，得.

∴，

由圖形知，平面與平面所成的二面角為銳角，

∴平面與平面所成二面角的余弦值為．