Question

【題目】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，試問(wèn)：這樣的是否存在，若存在，請(qǐng)求出的范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在且,理由見(jiàn)解析

【解析】

(Ⅰ)利用且聯(lián)立可證明;

(Ⅱ)由(1)可得,從而可得的解析式;

(Ⅲ)將已知不等式恒成立轉(zhuǎn)化為成立,然后分類(lèi)討論求出最大最小值代入即可解得.

（Ⅰ）∵

由題設(shè)可知即

由①得：，代入②得：，

化簡(jiǎn)得：，

∴；

（Ⅱ）將代入①式得：，則，

而又由，代入得，

∴即為所求；

（Ⅲ）

易知在及上均為增函數(shù)，在上為減函數(shù).

因?yàn)閷?duì)于任意的，，不等式恒成立，等價(jià)于,

所以（i）當(dāng)時(shí)，在上遞增.故,,

由

，得.這與相矛盾故舍去；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，

∴，，

又,

因?yàn)?/span>,所以,

∴

∴恒成立，

故當(dāng)時(shí),原不等式恒成立.

綜上：存在且符合題意.