Question

【題目】半圓的直徑的兩端點(diǎn)為,點(diǎn)在半圓及直徑上運(yùn)動(dòng),若將點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到點(diǎn),記點(diǎn)的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)若稱封閉曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值為該曲線的“直徑”,求曲線的“直徑”.

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析 （2）.

【解析】

(1)設(shè),則,由題意可知當(dāng)在直徑上時(shí),顯然;當(dāng)在半圓上時(shí),,即可求得答案;

(2)設(shè)曲線上兩動(dòng)點(diǎn),顯然,至少有一點(diǎn)在橢圓上時(shí)才能取得最大,不妨設(shè),,根據(jù)不等式性質(zhì),即可求得曲線的“直徑”.

(1)設(shè),則,

由題意可知當(dāng)在直徑上時(shí),顯然;

當(dāng)在半圓上時(shí),,

曲線的方程為或.

(2)設(shè)曲線上兩動(dòng)點(diǎn),

顯然,至少有一點(diǎn)在橢圓上時(shí)才能取得最大,

不妨設(shè),

則,

等號(hào)成立時(shí):,或,,

由兩點(diǎn)距離公式可得:,

故曲線的“直徑”為.