Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）題意等價(jià)于關(guān)于的方程有正根，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，分為，和三種情形進(jìn)行討論；（2）原題意等價(jià)于，分為和時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求結(jié)果.

試題解析：（1）由函數(shù)有零點(diǎn)得：關(guān)于的方程（）有解

令，則于是有，關(guān)于的方程有正根

設(shè)，則函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)且對(duì)稱軸為

當(dāng)時(shí)，的圖象開口向下，故恰有一正數(shù)解

當(dāng)時(shí)，，不合題意

當(dāng)時(shí)，的圖象開口向上，故有正數(shù)解的條件是

解得：

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）“對(duì)任意都有”即，②

∵，故②變形為：③

又當(dāng)時(shí)，恒有，

故當(dāng)時(shí)，，故不等式③恒成立

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

∴，解得，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍.