Question

7．已知圓C：（x-2）²+y²=4，線段EF在直線l：y=x+1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P為線段EF上任意一點(diǎn)，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B，使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤0，則線段EF長(zhǎng)度的最大值是$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)圓的切線為PM，PN，則由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤0，得∠APB≥90°，故∠MPN≥90°，求得PC≤2$\sqrt{2}$，結(jié)合題意點(diǎn)E、F到點(diǎn)C的距離等于2$\sqrt{2}$．再利用勾股定理求得EF的最大值．

解答 解：由題意，圓心到直線l：y=x+1的距離為$\frac{|2-0+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞2（半徑），故直線l和圓相離．
從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)，∠APB才是最大的角，
不妨設(shè)切線為PM，PN，則由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤0，得∠APB≥90°，∴∠MPN≥90°．
∴sin∠MPC=$\frac{2}{PC}$≥sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴PC≤2$\sqrt{2}$．
故在直線l上，當(dāng)EF最大時(shí)，點(diǎn)E、F到點(diǎn)C的距離等于2$\sqrt{2}$．
故EF的長(zhǎng)度的最大值為 2$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{7}{2}}$=$\sqrt{14}$，
故答案為：$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，直線和圓的位置關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題．