Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1 (a>b>0)的離心率是，拋物線E：x2＝2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D.直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.

①求證：點(diǎn)M在定直線上；

②直線l與y軸交于點(diǎn)G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S2，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：(1)利用離心率、拋物線的焦點(diǎn)進(jìn)行求解；(2)①設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；②利用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式和函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

試題解析：(1)由題意知＝，

可得a2＝4b2，因?yàn)閽佄锞�E的焦點(diǎn)為F，所以b＝，a＝1，

所以橢圓C的方程為x2＋4y2＝1.

(2)①證明　設(shè)P (m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直線l的斜率為m，因此直線l的方程為y－＝m(x－m)，

即y＝mx－.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．

聯(lián)立方程

得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.

由Δ>0，得0<m< (或0<m2<2＋)．(*)

且x1＋x2＝，因此x0＝，將其代入y＝mx－，

得y0＝，因?yàn)?/span>＝－.

所以直線OD的方程為y＝－x，

聯(lián)立方程

得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM＝－，

所以點(diǎn)M在定直線y＝－上．

②由①知直線l的方程為y＝mx－，令x＝0，得y＝－，

所以G，

又P，F，D，

所以S1＝·|GF|·m＝，

S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝，

所以＝.

設(shè)t＝2m2＋1，則＝

＝＝－＋＋2，

當(dāng)＝，即t＝2時(shí)，取到最大值，

此時(shí)m＝，滿(mǎn)足(*)式，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為.

因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.