Question

5．已知α，β為銳角，cosα=$\frac{4}{5}$，tan（α-β）=-$\frac{1}{3}$，則cosβ=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$；
已知α，β為銳角，cosα=$\frac{1}{7}$，cos（β+α）=-$\frac{11}{14}$，則cosβ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinα 的值，可得tanα 的值，根據(jù) tan（α-β）=-$\frac{1}{3}$，利用兩角差的正切公式解方程求得tanβ 的值，由同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求cosβ的值；
（2）先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα和sin（α+β）的值，然后利用cosβ=cos[（α+β）-α]，根據(jù)兩角和公式求得答案．

解答 解：（1）已知α，β為銳角，cosα=$\frac{4}{5}$，∴sinα=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{3}{4}$．
∵tan（α-β）=-$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\frac{3}{4}-tanβ}{1+\frac{3}{4}×tanβ}$=-$\frac{1}{3}$，解得 tanβ=$\frac{13}{9}$，
∴cosβ=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}β}}$=$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{169}{81}}}$=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$．
（2）∵α，β均為銳角，
∴sinα=$\sqrt{1-\frac{1}{49}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-（\frac{11}{14}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{10}}{50}$，$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了兩角和公式的化簡求值和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用．熟練記憶三角函數(shù)的基本公式是解題的基礎(chǔ)．屬于基本知識的考查．