Question

設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知an+1=2Sn+2()

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，

①在數(shù)列{dn}中是否存在三項dm，dk，dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項，若不存在，說明理由；

②求證：.

 

Answer 1

（1） （2）見解析

【解析】

試題分析：

（1）利用Sn與an之間的關系,即可得到關于an+1,an的遞推式，證明an為等比數(shù)列，且可以知道公比，當n=1時，可以得到a1與a2之間的關系，在根據(jù)an等比數(shù)列，可以消掉a2得到首項的值，進而得到通項公式.

（2）根據(jù)等差數(shù)列公差與項之間的關系(),可以得到，帶入an得到dn的通項公式.

①假設存在，dm，dk，dp成等比數(shù)列，可以得到關于他們的等比中項式子，把dn的通項公式帶入計算可以得到，則m,k,p既成等差數(shù)列也是等比數(shù)列，所以三者相等，與數(shù)列{dn}中是否存在三項dm，dk，dp(不相等)矛盾,所以是不存在的.

②利用(2)所得求出的通項公式，再利用錯位相減可以求得,利用不等式的性質(zhì)即可得到證明原式.

試題解析：

（1）由,

可得：,

兩式相減：. 2分

又,

因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故.

所以. 4分

（2）由（1）可知，

因為：，故：. 6分

①假設在數(shù)列中存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，

則：，即：,

（*） 8分

因為成等差數(shù)列，所以,

（*）可以化簡為，故，這與題設矛盾.

所以在數(shù)列中不存在三項（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列. 10分

②令，

,

11分

兩式相減：

13分

. 14分

考點：等比數(shù)列錯位相減法不等式等差等比中項