Question

7．平面上兩點F₁，F(xiàn)₂滿足|F₁F₂|=4，設(shè)d為實數(shù)，令Γ表示平面上滿足||PF₁|+|PF₂||=d的所有P點組成的圖形，又令C為平面上以F₁為圓心、1為半徑的圓．則下列結(jié)論中，其中正確的有②③⑤（寫出所有正確結(jié)論的編號）．
①當(dāng)d=4時，Γ為直線；
②當(dāng)d=5時，Γ為橢圓；
③當(dāng)d=6時，Γ與圓C交于三點；
④當(dāng)d＞6時，Γ與圓C交于兩點；
⑤當(dāng)d＜4時，Γ不存在．

Answer 1

分析 ①，動點P滿足：|PF₁|+|PF₂|=4，則動點P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為端點的線段；
②，|由PF₁|+|PF₂|=5＞|F₁F₂|=4，得動點P的軌跡是橢圓．
③，由|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4，得動點P的軌跡是橢圓，焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0_）．Γ與圓C交于三點；
④，當(dāng)d＞6時，Γ與圓C可能沒交點，
⑤，d＜4時，即|PF₁|+|PF₂|＜|F₁F₂|，Γ不存在．

解答 解：對于①，動點P滿足：|PF₁|+|PF₂|=4，則動點P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為端點的線段，故錯；
對于②，∵|F₁F₂|=4，又平面上一動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=5，∴|PF₁|+|PF₂|=5＞|F₁F₂|=4，
∴動點P的軌跡是橢圓，故正確．
對于③，∴|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4，∴動點P的軌跡是橢圓，焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
Γ與圓C交于三點，故正確；
對于④，當(dāng)d＞6時，Γ與圓C可能沒交點，故錯；
對于⑤，d＜4時，即|PF₁|+|PF₂|＜4，∴|PF₁|+|PF₂|＜|F₁F₂|，Γ不存在，正確；
故答案為：②③⑤

點評 本題考查了橢圓的定義及性質(zhì)，屬于中檔題．