Question

【題目】已知橢圓： 的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的三個頂點(diǎn)，直線： 與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.第（Ⅰ）問，利用直線和橢圓只有一個公共點(diǎn)，聯(lián)立方程，消去y得關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，解出b的值，從而得到橢圓E的方程；第（Ⅱ）問，利用橢圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知， ，則橢圓E的方程為.

由方程組得.①

方程①的判別式為，由，得，

此時方程①的解為，

所以橢圓E的方程為.

點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）.

（Ⅱ）由已知可設(shè)直線的方程為，

由方程組可得

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（），.

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為.

由方程組可得.②

方程②的判別式為，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

.

故存在常數(shù)，使得.