Question

【題目】數(shù)列滿足對(duì)任意的恒成立，為其前項(xiàng)的和，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）數(shù)列滿足，其中．

①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

②求集合．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見(jiàn)證明；②

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．根據(jù)a4＝4，前8項(xiàng)和S8＝36．可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）①設(shè)數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn．根據(jù)bn＝Bn﹣Bn﹣1，數(shù)列{bn}滿足．建立關(guān)系即可求解；

②由，得，即．記，由①得，，

由，得cm＝3cp＞cp，所以m＜p；設(shè)t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．

討論整數(shù)成立情況即可；

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，前8項(xiàng)和

，解得

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（2）①設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由（1）及 得

上兩式相減，得到

=

所以

又，所以，滿足上式，

所以

當(dāng)時(shí)，

兩式相減，得， ，

所以 所以此數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．

②由，得，即，∴．

令，顯然，此時(shí)變?yōu)?/span>，即，

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，符合題意，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

下證當(dāng)，時(shí)，方程：

∵

∴

∴，顯然，從而

當(dāng)，時(shí)，方程沒(méi)有正整數(shù)解．

綜上所述：．