Question

18．已知點(diǎn)P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)₁F₂分別是其左、右焦點(diǎn)，若|PF₁|=2|PF₂|，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{3}$]
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 由橢圓的第二定義結(jié)合|PF₁|=2|PF₂|，可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），解得x=$\frac{a}{3e}$，由題意可得-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，解不等式求得離心率e的取值范圍．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，∵|PF₁|=2|PF₂|，則由橢圓的定義可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），
∴x=$\frac{a}{3e}$，由題意可得-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，
∴$\frac{1}{3}$≤e＜1，則該橢圓的離心率e的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的第二定義，考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，靈活運(yùn)用橢圓第二定義是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．