Question

11．求證：直角坐標平面上的格點凸七邊形（每個頂點均為格點--縱、橫坐標均為整數(shù)的點）的內(nèi)部最少包含四個格點．

Answer 1

分析 不妨設格點凸七邊形ABCDEFG的各邊的內(nèi)部都沒有格點，再由五邊形AMEFG可確定另一個格點，從而推導出結(jié)論．

解答 解：首先，不妨設格點凸七邊形ABCDEFG的各邊的內(nèi)部都沒有格點（否則，如FG的內(nèi)部有一個格點H，
則用七邊形ABCDEFH）代替原來的七邊形，由于格點個數(shù)有限，故這種過程一定會在某一步終止）．
其次，任何五個格點或五個頂點的坐標按奇偶性分類，至多有四類：（奇，奇）（奇，偶）（偶，偶）（偶，奇）．
故必有五個頂點中的某兩個點屬于一類，這兩點的中點M也是格點，且點M在凸七邊形的內(nèi)部．
考慮A、B、C、D、E這五個格點，其中某兩點的中點M也是格點，且點M在凸七邊形ABCDEFG的內(nèi)部．
同理，由格點五邊形AMEFG可確定另一個格點N，也在七邊形ABCDEFG的內(nèi)部．
直線MN將平面分為兩部分，其中必有某一側(cè)至少含有格點凸七邊形的三個頂點．
不妨設A、B、G在MN的同一側(cè)，則由凸五邊形ABMNG知，七邊形ABCDEFG的內(nèi)部還有第三個格點P．
（1）若MN的另一側(cè)也含有七邊形ABCDEFG的三個頂點，同理可得第四個格點Q，
（2）若MN的另一側(cè)至多含兩個頂點D和E，則C、F在直線MN上或與A、B、G在MN的同一側(cè)，
這時又有兩種情況：
（i）若點P不在△ABM內(nèi)，則A、B、C、M、P組成凸五邊形，故可得第四個格點Q，
（ii）若點P在△ABM內(nèi)（或邊上），則A、P、N、F、G組成凸五邊形，故可得第四個格點Q．
另一方面，凸七邊形的內(nèi)部包含四個格點的圖象如下，
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點評 本題考查了歸納推理的應用，屬于難題．