Question

【題目】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且，點D為線段AO的中點，點C為圓O上的一點，且，平面ABC，.

（1）求證：平面PAB.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，可證，再由線面垂直得到，從而得證；

（2）以為坐標(biāo)原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量法求出二面角的余弦值.

（1）證明：連接，因為為圓的直徑，

，且，又因為，

， 為等邊三角形．

又為的中點，.

因為平面ABC，又平面ABC，，

由平面PAB，平面PAB，且，

所以平面PAB

（2）由（1）知，，互相垂直，以為坐標(biāo)原點，

，，分別為軸，軸，軸建立如圖坐標(biāo)系，

，，，，

，，設(shè)為平面PAC的法向量，則，即，令，解得，

又因為平面，

平面的法向量可取，

，

二面角的余弦值為