Question

如圖5，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且ÐDAB=60°. 側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點.

（1）求證：BG^平面PAD；

（2）求平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；

（3）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF^平面ABCD，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）證明：連結(jié)BD.

因為ABCD為棱形，且∠DAB=60°，所以DABD為正三角形.             

又G為AD的中點，所以BG⊥AD.                                   

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，                

∴BG⊥平面PAD.                                                 

解：（2）∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD.

∵PGÌ平面PAD，由（1）可得：PG⊥GB. 又由（1）知BG⊥AD.

∴PG、BG、AD兩兩垂直.            （5分）

故以G為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

，

，            （6分）

所以，， ， ，

                               

設(shè)平面PCD的法向量為， 即  

令，則                      

又平面PBG的法向量可為，                           

設(shè)平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角為，則

∴

即平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角的余弦值為.      

（3）當(dāng)F為PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD.                  

取PC的中點F，連結(jié)DE，EF，DF，CG，且DE與CG相交于H.

因為E、G分別為BC、AD的中點，所以四邊形CDGE為平行四邊形，

故H為CG的中點. 又F為CP的中點，所以FH//PG.                 

由（2），得PG^平面ABCD，所以FH^平面ABCD.                  （

又FHÌ平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.