Question

14．若點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x+3的最小距離為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值，就是切線的斜率，求出切點(diǎn)，然后再求點(diǎn)P到直線y=x+3的最小距離．

解答 解：過點(diǎn)P作y=x+3的平行直線，且與曲線y=x²-lnx相切，
設(shè)P（x₀，x₀²-lnx₀）則有：
k=y′|x=x₀=2x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$．
∴2x₀-$\frac{1}{{x}_{0}}$=1，∴x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
∴P（1，1），
∴d=$\frac{|1-1+3|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．