Question

4．已知函數f（x）=m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x（m＞0，且m≠1）．
（1）是否存在實數k，使得函數f（x）是奇函數？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由；
（2）是否存在實數k，使得函數f（x）是偶函數？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）存在實數k=-1，使得函數f（x）是奇函數，根據奇函數的定義，可證得結論；
（2）存在實數k=1，使得函數f（x）是偶函數，根據偶函數的定義，可證得結論；

解答 解：（1）存在實數k=-1，使得函數f（x）是奇函數，理由如下：
若函數f（x）=m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x為奇函數，
則f（-x）=-f（x），
即m^-x+k（$\frac{1}{m}$）^-x=km^x+（$\frac{1}{m}$）^x=-[m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x]，
即（k+1）[m^x+（$\frac{1}{m}$）^x]=0，
解得：k=-1；
（2）存在實數k=1，使得函數f（x）是偶函數，理由如下：
若函數f（x）=m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x為偶函數，
則f（-x）=f（x），
即m^-x+k（$\frac{1}{m}$）^-x=km^x+（$\frac{1}{m}$）^x=m^x+k（$\frac{1}{m}$）^x，
即（k-1）[m^x+（$\frac{1}{m}$）^x]=0，
解得：k=1；

點評 本題考查的知識點是函數的奇偶性，熟練掌握并正確理解函數奇偶性的定義，是解答的關鍵．