Question

19．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）函數(shù)f（x）在[0，+∞）上能否單調(diào)遞增？若能，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)f（x）=x|x-a|的奇偶性；
（2）分類討論，利用二次函數(shù)的圖象，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．
當(dāng)a=0時(shí)f（x）=x|x-a|=x|x|，為奇函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此時(shí)函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）由題意可得，x≥a，f（x）=x²-ax，a≤0，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
x＜a，f（x）=ax-x²，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上不可能單調(diào)遞增，
綜上，a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及分段函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．