Question

20．如圖所示，在△ABC中，AD=DB，點(diǎn)F在線段CD上，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，則$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y+1}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 三點(diǎn)C，F(xiàn)，D共線，則存在實(shí)數(shù)λ：$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AC}$+（1-λ）$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，又$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，可得λ=y，$\frac{1}{2}$（1-λ）=x，x+$\frac{y+1}{2}$=1，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．．

解答 解：∵三點(diǎn)C，F(xiàn)，D共線，則存在實(shí)數(shù)λ：$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AC}$+（1-λ）$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，∴λ=y，$\frac{1}{2}$（1-λ）=x，
則2x+y=1．∴x+$\frac{y+1}{2}$=1，
則$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y+1}$=$（x+\frac{y+1}{2}）$$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y+1}）$=3+$\frac{y+1}{2x}$+$\frac{4x}{y+1}$≥3+2$\sqrt{\frac{y+1}{2x}•\frac{4x}{y+1}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$-1，y=3-2$\sqrt{2}$時(shí)取等號．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量共線定理、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．