Question

【題目】已知 R，函數(shù) = ．
（1）當 時，解不等式 ＞1；
（2）若關于 的方程 + =0的解集中恰有一個元素，求 的值；
（3）設 ＞0，若對任意 ，函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差不超過1，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，得 ，解得

（2）

解： 有且僅有一解，

等價于 有且僅有一解，等價于 有且僅有一解．

當 時， ，符合題意；

當 時， ， ．

綜上， 或 ．

（3）

解：當 時， ， ，

所以 在 上單調(diào)遞減．

函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值分別為 ， ．

即 ，對任意 成立．

因為 ，所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，

所以 時， 有最小值 ，由 ，得 ．

故 的取值范圍為

【解析】（1）由 ，利用得 求解．（2）轉化得到 ，討論當 、 時的情況．（3）討論 在 上單調(diào)遞減．確定函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值之差．得到 ，對任意 成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�，以及對指、對數(shù)不等式的解法的理解，了解指數(shù)不等式的解法規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉化;對數(shù)不等式的解法規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉化．