Question

【題目】已知橢圓：的一個焦點為，離心率為.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動點為外一點，且到的兩條切線相互垂直，求的軌跡的方程；

（3）設(shè)的另一個焦點為，自直線：上任意一點引（2）所求軌跡的一條切線，切點為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)離心率和焦點坐標(biāo)可求得的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；

（2）設(shè)，切點分別為，，對點的位置進(jìn)行討論，即切線的斜率不存在和存在時；當(dāng)設(shè)切線方程為代入橢圓的方程得到關(guān)于的二次方程，利用直線互相垂直得到的關(guān)系，從而得到點的軌跡的方程；

（3）設(shè)，將，都用進(jìn)行表示，即可得答案.

（1）設(shè)，

由題設(shè)，得，，所以，，

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，切點分別為，，

當(dāng)時，設(shè)切線方程為，

聯(lián)立方程，得，

消去，得，①

關(guān)于的方程①的判別式，

化簡，得，②

關(guān)于的方程②的判別式，

因為在橢圓外，

所以，即，所以，

關(guān)于的方程②有兩個實根，分別是切線，的斜率.

因為，所以，即，化簡為.

當(dāng)時，可得，滿足，

所以的軌跡方程為.

（3）如圖，，設(shè)，

，

，

所以，即.