Question

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且對(duì)一切都成立.

(1)當(dāng)時(shí).

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；

(2)是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等差數(shù)列.如果存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)①；②；(2)存在，0.

【解析】

(1) ①時(shí)，可得到，即，然后用累乘法可得，進(jìn)而可得出數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，②用錯(cuò)位相減法算出即可

(2)先由算出，然后再證明即可

(1)①若，因?yàn)?/span>

則，.

又∵，，∴，

∴，

化簡(jiǎn)，得. ①

∴當(dāng)時(shí)，. ②

②－①，得，∴.

∵當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)上式也成立，

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，.

②因?yàn)?/span>，∴

所以

所以

將兩式相減得：

所以

(2)令，得.令，得.

要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得.

當(dāng)時(shí)，，且.

當(dāng)時(shí)，，

整理，得，，

從而，

化簡(jiǎn)，得，所以.

綜上所述，，

所以時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.