Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}滿足，a₁+a₂+a₃=9，a₂+a₈=18．?dāng)?shù)列{b_n}的前n和為S_n，且滿足S_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}滿足${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差中項的性質(zhì)及已知條件“a₁+a₂+a₃=9、a₂+a₈=18”可得公差，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項；利用“b_n+1=S_n+1-S_n”及“b₁=2b₁-2”，可得公比和首項，進(jìn)而可得數(shù)列{b_n}的通項；
（Ⅱ）利用${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，寫出T_n、$\frac{1}{2}$T_n的表達(dá)式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁+a₂+a₃=9，∴3a₂=9，即a₂=3，
∵a₂+a₈=18，∴2a₅=18，即a₅=9，
∴3d=a₅-a₂=9-3=6，即d=2，
∴a₁=a₂-d=3-2=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵S_n=2b_n-2，
∴b_n+1=S_n+1-S_n=2b_n+1-2b_n，
即b_n+1=2b_n，
又b₁=2b₁-2，∴b₁=2，
∴數(shù)列{b_n}是以首項和公比均為2的等比數(shù)列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
∴數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式分別為：a_n=2n-1、b_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（I）知${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減，得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．