Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）和；（2）.

【解析】

試題（1）求點(diǎn)處的切線方程，只要求出導(dǎo)數(shù)，則有切線方程為；（2）曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根，不可能是根，因此方程可轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)實(shí)根，這樣問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，因此只要研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，函數(shù)值變化情況，作出簡(jiǎn)圖就可得出結(jié)論．

試題解析：（1），，，所以切線方程為.

（2）曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根.

顯然，所以方程只有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)，，為增函數(shù)，又.

所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

所以在時(shí)取極小值.

又當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于正無(wú)窮；

又當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮；

又當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮.所以圖象大致如圖所示：

所以方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.