Question

已知數(shù)列中,且點(diǎn)在直線上。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值；
(3)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和.試問(wèn):是否存在關(guān)于的整式,使得
對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在,試說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）="n" （2）（3）存在，證明詳見(jiàn)解析

解析試題分析：（1）把點(diǎn)P（）代入直線x y 1=0得到，可知數(shù)列{}是等差數(shù)列.最后寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=n.（2）首先求出的表達(dá)式，通過(guò)判斷的符號(hào)，確定的單調(diào)性，從而求出最小值.（3）求出，S_n的表達(dá)式，可得，
由該遞推公式可得到，即，故.
試題解析：（1）點(diǎn)P（）在直線x y 1=0上，即且a₁=1，
數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）
=n（）a₁=1滿足=n，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為=n.
（2）


是單調(diào)遞增，故的最小值是
（3）
，
即   ，


.
故存在關(guān)于n的整式使等式對(duì)一切不小于2的自然數(shù)n恒成立.
考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的前n項(xiàng)和和增減性；3.數(shù)列的遞推公式