Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁＝1，且3a_n＋1＋2S_n＝3(n為正整數(shù))．

(1)求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)任意正整數(shù)n，k≤S_n恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．

Answer 1

 (1)∵3a_n＋1＋2S_n＝3，①

∴當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n＋2S_n－1＝3，②

由①－②得，3a_n＋1－3a_n＋2a_n＝0.

∴＝　(n≥2)．

又∵a₁＝1,3a₂＋2a₁＝3，解得a₂＝.

∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比q＝的等比數(shù)列．

∴a_n＝a₁q^n－1＝^n－1(n為正整數(shù))．

(2)由(1)知，∴S_n＝，

由題意可知，對(duì)于任意的正整數(shù)n，恒有

k≤，

∵數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)n＝1時(shí)，數(shù)列取最小項(xiàng)為，∴必有k≤1，即實(shí)數(shù)k的最大值為1.