Question

【題目】已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k （k > 0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）當(dāng)t=4，時(shí)，求△AMN的面積；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）先求直線的方程，再求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后求的面積；（Ⅱ）設(shè)，寫(xiě)出A點(diǎn)坐標(biāo)，并求直線的方程，將其與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由及t的取值范圍求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時(shí)，的方程為，.

由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為.

將代入得.解得或，所以.

因此的面積 .

（Ⅱ）由題意，，.

將直線的方程代入得.

由得，故.

由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，

由得，即.

當(dāng)時(shí)上式不成立，

因此.等價(jià)于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范圍是.