Question

16．（1）已知復數(shù)z滿足：|z|=1+3i-z，求$\frac{{{{（1+i）}^2}{{（3+4i）}^2}}}{2z}$的值．
（2）已知函數(shù)y=（x+1）（x+2）（x+3）．求該函數(shù)的導函數(shù)．
（3）求不等式-1＜x²+2x-1≤2的解集．

Answer 1

分析 （1）利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式、復數(shù)相等即可得出；
（2）展開利用導數(shù)的運算法則即可得出；
（3）利用一元二次不等式的解法、交集的運算性質即可得出．

解答 解：（1）設z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i-z，即$\sqrt{{a^2}+{b^2}}-1-3i+a+bi=0$，
則$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{a^2}+{b^2}}+a-1=0\\ b-3=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=-4\\ b=3\end{array}\right.，z=-4+3i$，
$\frac{{{{（1+i）}^2}{{（3+4i）}^2}}}{2z}=\frac{2i（-7+24i）}{2（-4+3i）}=\frac{24+7i}{4-i}=3+4i$．
（2）y=（x²+3x+2）（x+3）=x³+6x²+11x+6，
∴y′=3x²+12x+11．
（3）∵$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-3≤0}\\{{x}^{2}+2x＞0}\end{array}\right.$，
∴-3≤x＜-2或0＜x≤1．
∴不等式的解集{x|-3≤x＜-2或0＜x≤1}．

點評 本題考查了復數(shù)的運算法則、模的計算公式、復數(shù)相等、導數(shù)的運算法則、一元二次不等式的解法、交集的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．