Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=a_n²（n∈N^*），a₁=e，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+1=a_n²（n∈N^*）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)、整理可知lna_n+1=2lna_n，進(jìn)而可知數(shù)列{lna_n}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意a_n＞0，
∵a_n+1=a_n²（n∈N^*），
∴l(xiāng)na_n+1=lna_n²=2lna_n，
又∵lna₁=lne=1，
∴數(shù)列{lna_n}是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)na_n=2^n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=${e}^{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．