Question

已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）先求與，看兩值是否異號(hào)，然后證明在[0，1]上單調(diào)性，即可證明函數(shù)在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點(diǎn)；
（2）由得：，令，則， . 令，則，，，
所以在上單調(diào)遞增，，對(duì)a進(jìn)行和討論得出結(jié)論．
試題解析：（1），          1分
∵，，
∴， ∴在區(qū)間上存在零點(diǎn)．          3分
令 ，則，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，                5分
∴在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)．           6分
（2）由得：，
令，則，
令，則，，，
所以在上單調(diào)遞增，.          9分
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，即，
所以在上單調(diào)遞增，  .           11分
（2）當(dāng)時(shí)，存在使，即，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
，這與對(duì)恒成立矛盾.
綜合（1）、（2）得：.                 14分
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．