Question

【題目】點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，，兩點(diǎn)為曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且（），求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意，列出方程，整理化簡(jiǎn)即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用，建立直線與之間的聯(lián)系，再利用點(diǎn)到直線的距離，以及面積公式，將四邊形面積表示為函數(shù)形式，求該函數(shù)的值域即可.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則到直線的距離，

由題可知：，即可得，

兩邊平方整理可得：

故曲線的方程為：.

（2）因?yàn)?/span>，故兩點(diǎn)不可能重合，

則直線的斜率不可能為0，

故可設(shè)直線方程為，

聯(lián)立橢圓方程，

可得，

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

則可得，

則

故可得，

因?yàn)?/span>，故可得四點(diǎn)共線，

故可得.

不妨設(shè)直線方程為，，

聯(lián)立直線與橢圓方程

可得，

設(shè)，

則，即

則，即

則點(diǎn)到直線的距離為：

將代入上式即可得：

，，

故

又根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：

故四邊形面積

，

因?yàn)?/span>，則，，

故.

故四邊形面積的取值范圍為.