Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。

（Ⅱ）綜上可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（Ⅰ），

法1： 

有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，等價(jià)于     

，解得，即為所求的實(shí)數(shù)的取值范圍.

法2： 

有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即方程  

在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，等價(jià)于

,,解得，即為所求的實(shí)數(shù)的取值范圍.

法3： ，即方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，則其圖象對(duì)稱軸為直線，圖象恒過點(diǎn)，

問題條件等價(jià)于的圖象與軸正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于，

（Ⅱ）法1：（1）當(dāng)時(shí)，，

由得，，解得，

由得，，解得，

從而在、上遞減，在上遞增，

，  

，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072512294075811034/SYS201307251230171122980419_DA.files/image001.png">，所以，又，所以，從而.

又的圖象連續(xù)不斷，故當(dāng)時(shí)，的圖象與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn).  

法2： ，令，考察函數(shù)，由于，所以在上遞減，，即，

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072512294075811034/SYS201307251230171122980419_DA.files/image048.png">，所以，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.從而在上遞減，在上遞增,.

①若，則，此時(shí)的圖象與軸無交點(diǎn).

②若，則，的圖象與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象特征、函數(shù)的零點(diǎn)，不等式組的解法。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題解答思路明確，注意是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象特征、函數(shù)的零點(diǎn)等。解答（I）時(shí)關(guān)鍵之一是認(rèn)識(shí)到“有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根”。解答（II）時(shí)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，明確了函數(shù)圖像的大致形態(tài)，又通過討論a 的不同取值范圍，確定出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解法較多，對(duì)啟迪學(xué)生的思維很有幫助。