Question

6．已知點(diǎn)P為曲線(xiàn)xy-2x-2y+8=0上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|的最小值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（x，y），
則|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy-2x-2y+8}$=$\sqrt{\frac{3}{4}（x-\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{1}{2}x+y-1）^{2}+\frac{2}{3}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{2}{3}$取等號(hào)，
故|OP|的最小值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩點(diǎn)間的距離的求解，利用配方法將式子進(jìn)行配方是解決本題的關(guān)鍵．