Question

【題目】已知函數(shù)．

（）若，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（）若，且對(duì)于任意， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（）求證：不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間；

（2），只要時(shí)， 恒成立即可，因此利用導(dǎo)數(shù)求出在上的最小值，由此最小值大于0可得的范圍，注意對(duì)分類討論；

（3）這類證明題一般要利用上面所證函數(shù)的結(jié)論，由（2）知當(dāng)時(shí)， 恒成立，分別取為可得，相加同時(shí)取即證．

試題解析：

（），∴， ，∴當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為．

（），∴為偶函數(shù)，

∴對(duì)恒成立，等價(jià)于，對(duì)恒成立，

∴，解得，

當(dāng)時(shí)， ，在時(shí)成立，

∴在上為增函數(shù)，∴，符合題意，

當(dāng)時(shí)， ，∴時(shí)， ， 減，

時(shí)， ， 增，

∴，∴，綜上．

（）證明：由（）可知，當(dāng)時(shí)， 恒成立，即恒成立，

，

當(dāng)時(shí)， ，得證．