Question

【題目】已知為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且有

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過與平行的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值為6．

【解析】

試題（1）由題意知橢圓焦點(diǎn)在 軸，可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程，由 得，由 在橢圓上可求得 ，即可得橢圓的方程；（2）由四邊形 是平行四邊形，得 ，設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓得關(guān)于 的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可求得 的值，進(jìn)而得，由 令,由基本不等式得的最大值。

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由已知得，∴，

又點(diǎn)在橢圓上，∴，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可知，四邊形為平行四邊形，∴，

設(shè)直線的方程為，且，

由得，

∴，

，

令，則，，

又在上單調(diào)遞增，

∴，∴的最大值為，

所以的最大值為.