Question

【題目】如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得該函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，則稱函數(shù)是該定義域上的“和諧函數(shù)”.

（1）求證：函數(shù)是“和諧函數(shù)”；

（2）若函數(shù)是“和諧函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）利用“和諧函數(shù)”的定義將問題轉(zhuǎn)化為，再驗(yàn)證進(jìn)行求解；（2）利用“和諧函數(shù)”的定義將問題轉(zhuǎn)化為和的圖像至少有2個交點(diǎn)，再利用整體換元和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.

試題解析：（1）要證：存在區(qū)間使得在上的值域?yàn)?/span>，

又由于是一個單調(diào)遞増的函數(shù)，且定義域?yàn)?/span>

故只需證存在實(shí)數(shù)滿足,且有

觀察得，

即存在符合題意

故函數(shù)是“和諧函數(shù)”

（2）由題，即存在實(shí)數(shù)滿足，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，

由于單調(diào)遞増，從而有，

該方程組等價于方程在有至少2個解，

即在上至少有2個解，

即和的圖像至少有2個交點(diǎn)，

記，則，從而有，

記，配方得，

又，作出的圖像可知， 時有兩個交點(diǎn)，

綜上， 的取值范圍為.