Question

【題目】某生態(tài)農(nóng)場(chǎng)有一矩形地塊，地塊內(nèi)有一半圓形池塘（如圖所示），其中百米，百米，半圓形池塘的半徑為1百米，圓心與線段的中點(diǎn)重合，半圓與的左側(cè)交點(diǎn)為.該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃分別在和上各選一點(diǎn)，修建道路，要求與半圓相切.

（1）若，求該道路的總長；

（2）若為觀光道路，修建費(fèi)用是4萬元/百米，為便道，修建費(fèi)用是1萬元/百米，求修建觀光道路與便道的總費(fèi)用的最小值.

Answer 1

【答案】（1）百米；（2）萬元.

【解析】

（1）利用圖中邊角關(guān)系，分別計(jì)算出，的長度，相加即可；

（2）設(shè)，得的取值范圍是，可得修建觀光道路與便道的總費(fèi)用，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.

（1）因?yàn)?/span>，所以.

而,

所以.

答：道路的總長為百米.

（2）設(shè).

若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則；

若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，

所以由題意，的取值范圍是.

設(shè)切點(diǎn)為，連結(jié).

則.

設(shè)修建觀光道路與便道的總費(fèi)用為萬元，則

.

設(shè)，

則.

令，得，令，且.

列表如下：

	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.

所以.

答：修建觀光道路與便道的總費(fèi)用的最小值為萬元.