Question

17．設(shè)A．B是曲線C：y=$\sqrt{3}$x+$\frac{2}{x+1}$上不同的兩點．且曲線在A，B兩點處的切線都與直線AB垂直．
（1）求證直線AB過點（-1，-$\sqrt{3}$）；
（2）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意可得f′（x₁）=f′（x₂），化簡可得x₁+x₂=-2，再由y₁+y₂═-2$\sqrt{3}$，由中點坐標(biāo)公式可得直線必過中點；
（2）運用直線的斜率公式，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得到直線AB的斜率，由點斜式方程進而得到直線的方程．

解答 （1）證明：y=$\sqrt{3}$x+$\frac{2}{x+1}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\sqrt{3}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意可得f′（x₁）=f′（x₂），
即為$\frac{2}{（{x}_{1}+1）^{2}}$=$\frac{2}{（{x}_{2}+1）^{2}}$，
即有（x₁+1）²=（x₂+!）²，
即x₁+x₂=-2，
y₁+y₂=$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+$\frac{2}{{x}_{1}+1}$+$\frac{2}{{x}_{2}+1}$
=-2$\sqrt{3}$+$\frac{2}{-1-{x}_{2}}$+$\frac{2}{{x}_{2}+1}$=-2$\sqrt{3}$，
則直線AB過中點（-1，-$\sqrt{3}$）；
（2）解：直線AB的斜率為k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\frac{\sqrt{3}（{x}_{2}-{x}_{1}）+\frac{2}{{x}_{2}+1}-\frac{2}{{x}_{1}+1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
=$\sqrt{3}$-$\frac{2}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\sqrt{3}$+$\frac{2}{（{x}_{1}+1）^{2}}$，
由垂直的條件可得
[$\sqrt{3}$+$\frac{2}{（{x}_{1}+1）^{2}}$]•[$\sqrt{3}$-$\frac{2}{（{x}_{1}+1）^{2}}$]=-1，
化簡可得（x₁+1）²=1，解得x₁=0或-2，
即有直線AB的斜率為2+$\sqrt{3}$，
即有直線AB的方程為y+$\sqrt{3}$=（2+$\sqrt{3}$）（x+1），
即為（2+$\sqrt{3}$）x-y+2=0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件和中點坐標(biāo)公式，及直線方程的求法，屬于中檔題．