Question

【題目】橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，離心率為.

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)且，是否存在以原點(diǎn)為圓心的定圓與直線相切？若存在求出定圓的方程；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為；（2）存在，方程為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可知，橢圓焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為，即，又離心率，所以，則，所以橢圓方程為；（2）若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線： ，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)， ，然后表示出韋達(dá)定理，由于，轉(zhuǎn)化為，即，坐標(biāo)表示為，于是得到關(guān)于的等式，再求原點(diǎn)O到直線AB的距離，與前面的等式聯(lián)立化簡、整理可以得出，最后得到圓的方程.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，

∵橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，離心率為，

∴由題意，且，解得， .

∴所求橢圓方程為.

（Ⅱ）設(shè)， ，若存在，則設(shè)直線： ，由，得

∴，且，由，知 ，代入得，原點(diǎn)到直線的距離，

當(dāng)的斜率不存在時(shí)， ，得， ，依然成立

∴點(diǎn)到直線的距離為定值.

∴定圓方程為.