Question

19．把二項(xiàng)式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^8}$的展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則其中有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 利用通項(xiàng)公式可得有理項(xiàng)與無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．利用“插空法”及其排列公式即可得出概率．

解答 解：由二項(xiàng)式${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^8}$展開式的通項(xiàng)公式得：${T_{r+1}}=C_8^r{（\sqrt{x}）^{8-r}}{（\frac{1}{{2\root{4}{x}}}）^r}={（\frac{1}{2}）^r}C_8^r{x^{\frac{16-3r}{4}}}$
可知當(dāng)r=0，4，8時(shí)為有理項(xiàng)，其余6項(xiàng)為無理項(xiàng)．  
展開式的9項(xiàng)全排列共有$A_9^9$種，
有理項(xiàng)互不相鄰可把6個(gè)無理項(xiàng)全排列，把3個(gè)有理項(xiàng)在形成的7個(gè)空中插孔，有$A_6^6A_7^3$種．
故有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為$P=\frac{A_6^6A_7^3}{A_9^9}=\frac{5}{12}$．
故答案為：$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、“插空法”、排列公式、概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．