Question

8．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+2y+z=1，則x²+4y²+z²的最小值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用條件x+2y+z=1，構(gòu)造柯西不等式（x+2y+z）²≤（1²+1²+1²）•（x²+4y²+z²），進(jìn)行解題即可．

解答 解：由柯西不等式，得（x+2y+z）²≤（1²+1²+1²）•（x²+4y²+z²），
∵x+2y+z=1，∴x²+4y²+z²≥$\frac{1}{3}$，
∴x²+4y²+z²的最小值是$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的最值，以及柯西不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用（x+2y+z）²≤（1²+1²+1²）•（x²+4y²+z²），進(jìn)行解決．