Question

【題目】已知拋物線 的焦點(diǎn)為,過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（除頂點(diǎn)外）作的切線交軸于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線的垂線（垂足為）與直線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線方程，可得 ，從而得焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，從而得，根據(jù)過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式可得，從而可得結(jié)論；（Ⅲ）由(Ⅱ)可設(shè)直線的方程為，.直線的方程為 .設(shè)和交點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線方程可得，，代入圓的方程結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由拋物線方程，可得 ，可得

（Ⅱ）設(shè).由，得，則過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為.

則過(guò)點(diǎn)的切線方程為.令，得，即.又點(diǎn)為拋物線上除頂點(diǎn)外的動(dòng)點(diǎn)，，則.而由已知得，則.又，即與不重合，即.

（Ⅲ）由(Ⅱ)問(wèn)，直線的方程為，.直線的方程為 .設(shè)和交點(diǎn)的坐標(biāo)為則

由（1）式得，（由于不與原點(diǎn)重合，故）.代入（2），化簡(jiǎn)得 .又，化簡(jiǎn)得, （）.

即點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上.（原點(diǎn)與除外）

即.